文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （267）—— 算法导论20.2 2题

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二、写出 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码。通过扫描簇内的相关位，来更新相应的 summary 位。并且你实现的伪代码的最坏情况运行时间是多少？如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

首先，让我们回顾一下vEB（Van Emde Boas）树的基本概念。vEB树是一种特殊的搜索树，用于处理在{0, 1, …, U-1}范围内整数的集合。在vEB树中，通常有一个称为summary的位，用于指示当前簇中是否存在元素。当簇内没有元素时，summary位被设置为0；否则，它被设置为1。

PROTO-vEB-DELETE是vEB树删除操作的基础步骤之一，它用于在给定范围内删除一个元素。以下是一个简化的PROTO-vEB-DELETE伪代码，它假定我们有一个vEB树结构和一个方法来访问和操作簇和summary位：

PROTO-vEB-DELETE(T, x)
if T is a leaf node:
// 叶子节点，直接设置对应位为0
T.bit[x] = 0
else:
cluster_size = sqrt(T.universe_size)
high_bits = x // cluster_size
low_bits = x % cluster_size

// 如果需要，递归删除低位簇中的元素
if T.summary[high_bits]:
PROTO-vEB-DELETE(T.clusters[high_bits], low_bits)

// 更新summary位
T.summary[high_bits] = OR(T.clusters[high_bits].summary)

注意：

伪代码中使用了//来表示注释。

T.universe_size是vEB树可以表示的范围大小。

T.clusters是一个数组，其中每个元素都是一个子vEB树，表示一个簇。

T.bit在叶子节点中表示具体的位数组。

T.summary是一个位数组，用于表示每个簇中是否存在元素。

OR(T.clusters[high_bits].summary)表示对簇的summary位进行按位或操作，以检查簇中是否至少有一个元素。

关于运行时间：

如果T是叶子节点，则操作是常数时间的。

否则，递归调用PROTO-vEB-DELETE最多进行log log U次（因为簇的大小是sqrt(U)，U是vEB树可以表示的范围大小），而每次递归调用都在一个更小的簇上执行。在最坏的情况下，每个簇中的每个元素都需要被删除，这将导致在每个簇上进行一次扫描。因此，总的时间复杂度是O(log log U * sqrt(U))，但通常我们只说它是O(log log U)的，因为sqrt(U)是簇的大小，它是常数时间的操作（在给定U的情况下）。

下面是使用Go语言实现的简化版本（请注意，这只是一个框架，并不是完整的vEB树实现）：

type VEBNode struct {
// 假设bit和summary是适当的位数组或布尔切片
bit []bool
summary []bool
clusters []*VEBNode // 簇的数组
// … 其他字段，如universe_size等
}

func (t *VEBNode) PROTOVEBDelete(x int) {
if t.IsLeaf() {
t.bit[x] = false
} else {
clusterSize := int(math.Sqrt(float64(t.universeSize)))
highBits := x / clusterSize
lowBits := x % clusterSize

if t.summary[highBits] {
t.clusters[highBits].PROTOVEBDelete(lowBits)
}

t.summary[highBits] = t.clusters[highBits].HasElements() // 假设HasElements返回簇的summary的OR结果
}
}

// … 其他方法，如IsLeaf, HasElements等

注意：上面的Go代码是一个非常简化的版本，仅用于展示基本概念。在实际的vEB树实现中，还需要处理许多其他细节。

讯飞星火：

以下是 PROTO-vEB-DELETE 的伪代码：

PROTO-vEB-DELETE(x, summary)
if x is in a leaf cluster then
remove x from the cluster
else
y = high(x)
if y is not zero then
set low(x) to y
recursively call PROTO-vEB-DELETE(y, summary)
else
set low(x) to zero
end if
summary = merge(summary, low(x))
end if
return summary

在这段伪代码中，我们首先检查元素x是否在一个叶子簇中。如果是，我们就从该簇中移除x。否则，我们将x的最高位设置为low(x)，然后递归地调用PROTO-vEB-DELETE函数。如果y不为零，则将low(x)设置为y，并递归地调用PROTO-vEB-DELETE函数。否则，我们将low(x)设置为零。最后，我们将summary与low(x)合并。

关于运行时间，由于每次操作都需要遍历树形结构，所以最坏情况下的时间复杂度为O(log n)，其中n是元素的总数。